Definisi Fungsi:
Fungsi atau pemetaan adalah
perkawanan satu satu pada himpunan A dan B.
Misalkan A dan B dua himpunan
yang tidak kosong, sebuah fungsi dari A ke B adalah aturan yang
mengkaitkan setiap x anggota A
dengan tepat satu y anggota B, dan dinotasikan huruf “kecil”,
misalnya f, g, h dsb. Dituliskan
denganf : A B
f adalah fungsi dari A ke B
f memetakan A ke B
DAERAH ASAL (Domain) DAN DAERAH
HASIL FUNGSI (Range)
A = daerah asal = Domain = daerah
definisi dari f = Df
B = kodomain dari = Cf
f memetakan x A ke y = f(x)
B
Himpunan y = f(x) B merupakan peta dari x A disebut daerah hasil f = range f = Rf
Contoh
Tentukan daerah definisi dan daerah hasil dari fungsi
berikut;
1. f(x) = 5x – 3
2. g(x) = h(x) =
–4.
3 . G(x) = log (2x2+ 9x – 5)
Petunjuk
Untuk menentukan daerah denifisi,
anda harus menentukan x sehingga f(x) terdefinisi pada bilangan
real atau anda harus menentukan x
yang menyebabkan f(x) bukan bilangan real.
Menurut anda adakah x bilangan
real sehingga f(x) bukan bilangan real ?
Jadi
1.Df = R dan Rf = R
2. Dg = { x/ x ≠ - , x R } dan Rg = { y/ y = f(x) ≠ , y R
}
KESAMAAN DUA FUNGSI
Misalkan f dan g dua funsgi yang
terdefinisi pada daerah D dan f(x) =
g(x) untuk setiap x didaerah D,
maka f dan g dikatakan dua fungsi
sama dan dituliskan f = g.
Misalkan f(x) = x2
dan g(t) = t2
FUNGSI SATU- SATU
Misalkan f adalah fungsi yang
memetakan A ke B, f disebut fungsi satu – satu bila setiap anggota B
yang berbeda meruapkan peta dari
anggota A yang berbeda pula.
F(x) = 2x + 7 adalah fungsi satu
– satu
G(x) = x2– x bukan fungsi satu –
satu karena G(0) = G(1) = 0
FUNGSI SURJEKTIF
Misalkan f adalah fungsi yang
memetakan A ke B, f disebut fungsi surjektif atau onto bila setiap y
anggota B merupakan peta dari x
di A atau f(A) = B.
FUNGSI INJEKTIF
Misalkan f adalah fungsi yang
memetakan A ke B, f disebut fungsi injektif atau into bila setiap x
anggota A mempunyai pasangan yang
berbeda anggota B.
FUNGSI BIJEKTIF
Misalkan f adalah fungsi yang
memetakan A ke B, f disebut fungsi bijektif atau berkorespondensi
satu-satu bila setiap y anggota B
merupakan peta dari x di A dan setiap x
anggota A mempunyai
pasangan yang berbeda anggota B.
FUNGSI IDENTITAS
Misalkan f adalah fungsi yang
memetakan A ke A yang didefinsikan f(x) = x, f memetakan setiap
anggota A ke dirinya sendiri. f
disebut fungsi identitas. 1 dipetakan oleh f ke 1, 2 dipetakan oleh f ke
2.
FUNGSI KONSTAN
Misalkan f adalah fungsi yang
memetakan A ke B, f dikatakan fungsi konstan bila semua anggota A
dipetakan oleh ke suatu anggota
tertentu pada B.
F(x) = k, k R
OPERASI ALJABAR PADA FUNGSI
Misalkan f dan g dua buah fungsi
yang masing-masing terdefinisi pada daerah asalnya Df dan Dg,
maka terhadap kedua fungsi ini
dapat dilakukan operasi aljabar berikut;
PENJUMLAHAN
f + g adalah sebuah fungsi yang
terdefinisi pada Df+g = Df Dg dan (f + g) (x) = f(x) + g(x)
PENGURANGAN
f - g adalah sebuah fungsi yang
terdefinisi pada Df-g = Df Dg dan (f - g) (x) = f(x) - g(x)
PERKALIAN
fg adalah sebuah fungsi yang
terdefinisi pada Dfg = Df Dg dan (fg) (x) = f(x)g(x)
PEMBAGIAN
f/g adalah sebuah fungsi yang
terdefinisi pada Df/g = Df Dg dan (f/g) (x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0
FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL
f disebut fungsi Genap bila f(-x)
= f(x) untuk setiap x Df dan
f disebut fungsi Ganjil bila
f(-x) = - f(x) untuk setiap x Df
Grafik fungsi genap simteri
terhadap sumbu y, sedang fungsi ganjil grafiknya simetri terhadap titik
pangkal O(0,0).
PERGESERAN GRAFIK FUNGSI
Misalkan f adalah sebuah fungsi
yang terdefinisi di Df dengan y = f(x).
Grafik fungsi y = f(x-a) + b
dengan a > 0 dan b > 0 dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi
y
= f(x) ke kanan sejauh a satuan dan ke atas b satuan. Secara umum grafik
fungsi y = f(x-a) + b
diperoleh dengan menggeser grafik
fungsi y = f(x):
i. ke kanan a satuan dan ke atas b satuan bila a
> 0 dan b > 0
ii. ke kanan a satuan dan bawah b
satuan bila a > 0 dan b < 0
iii. ke kiri a satuan dan keatas
b satuan bila, a < 0 dan b > 0
iV. Ke kiri a satuan dan ke bawah
b satuan bila a < 0 dan b < 0
Ilustrasi
1. f(x) = √x dan g(x) = + 2
2. f(x) = X
2 dan g(x) = x
2– 4x + 7
3. f(x) = x2
dan g(x) = x2– 10x + 21
FUNGSI KOMPOSISI
Misalkan f adalah fungsi yang
terdefinisi pada Df dan daerah hasil Rf
. Misalkan g adalah fungsi yang
terdefinisi pada Dg. Fungsi
komposisi f dilanjutkan g ditulis
(gof)(x) = g(f(x)) bila Rf Dg ≠
Ilustrasi
1. f(x) = 5x – 6
2. g(x) = 2– 3x +1
3. h(x) =
4. F(x) =
5. G(x) =
6. H(x) = log
Tentukan (bila ada) dan tentukan
daerah serta daerah hasil dari
1. (fog)(x)
2. (goh)(x)
3. (hoF)(2x)
4. (FoG)(1/x)
5. (GoH) (-3x)
Tentukan f(x) bila diketahui
1. (gof)(x) = 5x – 7 dan g(x) =
4x +7
2. (gof)(x) = 3x2+ 5x – 1 dan
g(x) = 7 – 4x3.
3. (fog)(x) = 6x + 13 dan g(x) =
3- 15x
4. (fog)(x) = x2+ 4x - 12 dan g(x) = 5x – 3
FUNGSI INVERS
Misalkan f : Df Rf dengan y =
f(x), sedangkan fungsi invers dari f adalah f-1 : Rf Df, dengan
x = f-1(y) Df-1=R
Apakah setiap fungsi mempunyai
invers fungsi ?
Invers dari fungsi f adalah
fungsi bila f adalah fungsi satu – satu dan pada.
Aturan dari fungsi invers f-1
ditentukan dengan cara menyatakan x dalam y,
kemudian x dan y
berganti peran. Grafik fungsi f
dan inversnya f-1
simetri terhadap garis y = x.
Ilustrasi
1. Invers dari fungsi f(x) = 3x –
5 ditentukan dengan cara sbb
f(x) = 3x – 5
y = 3x – 5
selanjutkan nyatakan x dalam y, diperoleh
x = f-1(y) =
f-1(x) = 2.
g(x) =
g-1(x) = ?
Jawab
y = y(3 + 5x ) = 2x + 5
3y + 5xy = 2x +
5
5xy – 2x = 5 –
3y
(5y – 2 )x = 5 – 3y
x
= g-1 (y) = g-1
