Fungsi

Definisi Fungsi:

Fungsi atau pemetaan adalah perkawanan satu satu pada himpunan A dan B.

Misalkan A dan B dua himpunan yang tidak kosong, sebuah fungsi dari A ke B adalah aturan yang

mengkaitkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B, dan dinotasikan huruf “kecil”,

misalnya f, g, h dsb. Dituliskan denganf : A  B

f adalah fungsi dari A ke B

f memetakan A ke B

DAERAH  ASAL (Domain)  DAN DAERAH  HASIL  FUNGSI (Range)

A = daerah asal = Domain = daerah definisi dari f = Df

B = kodomain dari = Cf

f memetakan x  A ke y = f(x)  B

Himpunan y = f(x)  B merupakan peta dari x  A disebut daerah hasil f = range f = Rf

Contoh

Tentukan daerah definisi  dan daerah hasil  dari fungsi  berikut;

1. f(x) = 5x – 3

2. g(x) =  h(x) =  –4.

3 . G(x) = log (2x2+ 9x – 5)

Petunjuk

Untuk menentukan daerah denifisi, anda harus menentukan x sehingga f(x) terdefinisi pada bilangan

real atau anda harus menentukan x yang menyebabkan f(x) bukan bilangan real.

Menurut anda adakah x bilangan real sehingga f(x) bukan bilangan real ?

Jadi

1.Df = R  dan Rf = R

2. Dg = { x/ x ≠ - , x  R } dan Rg = { y/ y = f(x) ≠  , y  R }

KESAMAAN DUA FUNGSI

Misalkan f dan g dua funsgi yang terdefinisi  pada daerah D dan f(x) = g(x) untuk setiap x didaerah D,

maka f dan g dikatakan dua fungsi sama dan dituliskan f = g.

Misalkan f(x) = x2

dan g(t) = t2

FUNGSI SATU- SATU

Misalkan f adalah fungsi yang memetakan A ke B, f disebut fungsi satu – satu bila setiap anggota B

yang berbeda meruapkan peta dari anggota A yang berbeda pula.

F(x) = 2x + 7 adalah fungsi satu – satu

G(x) = x2– x bukan fungsi satu – satu karena G(0) = G(1) = 0

FUNGSI SURJEKTIF

Misalkan f adalah fungsi yang memetakan A ke B, f disebut fungsi surjektif atau onto bila setiap y

anggota B merupakan peta dari x di A atau  f(A) = B.

FUNGSI INJEKTIF

Misalkan f adalah fungsi yang memetakan A ke B, f disebut fungsi injektif atau into bila setiap x

anggota A mempunyai pasangan yang berbeda anggota B.

FUNGSI BIJEKTIF

Misalkan f adalah fungsi yang memetakan A ke B, f disebut fungsi bijektif atau berkorespondensi

satu-satu bila setiap y anggota B merupakan peta dari x di A dan  setiap x anggota A mempunyai

pasangan yang berbeda anggota B.

FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f adalah fungsi yang memetakan A ke A yang didefinsikan f(x) = x, f memetakan setiap

anggota A ke dirinya sendiri. f disebut fungsi identitas. 1 dipetakan oleh f ke 1, 2 dipetakan oleh f ke

2.

FUNGSI KONSTAN

Misalkan f adalah fungsi yang memetakan A ke B, f dikatakan fungsi konstan bila semua anggota A

dipetakan oleh ke suatu anggota tertentu pada B.

F(x) = k,    k  R

OPERASI ALJABAR PADA FUNGSI

Misalkan f dan g dua buah fungsi yang masing-masing terdefinisi pada daerah asalnya Df dan Dg,

maka terhadap kedua fungsi ini dapat dilakukan operasi aljabar berikut;

PENJUMLAHAN

f + g adalah sebuah fungsi yang terdefinisi pada Df+g = Df Dg dan (f + g) (x) = f(x) + g(x)

PENGURANGAN

f - g adalah sebuah fungsi yang terdefinisi pada Df-g = Df Dg dan (f - g) (x) = f(x) - g(x)

PERKALIAN

fg adalah sebuah fungsi yang terdefinisi pada Dfg = Df Dg dan (fg) (x) = f(x)g(x)

PEMBAGIAN

f/g adalah sebuah fungsi yang terdefinisi pada Df/g = Df Dg dan (f/g) (x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0

FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

f disebut fungsi Genap bila f(-x) = f(x) untuk setiap x  Df dan

f disebut fungsi Ganjil bila f(-x) = - f(x) untuk setiap x  Df

Grafik fungsi genap simteri terhadap sumbu y, sedang fungsi ganjil grafiknya simetri terhadap titik

pangkal O(0,0).

PERGESERAN GRAFIK FUNGSI

Misalkan f adalah sebuah fungsi yang terdefinisi di Df dengan y = f(x).

Grafik fungsi y = f(x-a) + b dengan a > 0 dan b > 0 dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi

y  = f(x) ke kanan sejauh a satuan dan ke atas b satuan. Secara umum grafik fungsi y = f(x-a) + b

diperoleh dengan menggeser grafik fungsi y = f(x):

i.  ke kanan a satuan dan ke atas b satuan bila a > 0 dan b > 0

ii. ke kanan a satuan dan bawah b satuan bila a > 0 dan b < 0

iii. ke kiri a satuan dan keatas b satuan bila, a < 0 dan b > 0

iV. Ke kiri a satuan dan ke bawah b satuan bila a < 0 dan b < 0

Ilustrasi

1. f(x) = √x dan g(x) =  + 2

2. f(x) = X

2 dan g(x) = x

2– 4x + 7

3.  f(x) = x2 dan  g(x) = x2– 10x + 21

FUNGSI KOMPOSISI

Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada Df dan daerah hasil Rf

. Misalkan g adalah fungsi yang

terdefinisi pada Dg. Fungsi komposisi f dilanjutkan g ditulis

(gof)(x) = g(f(x)) bila Rf Dg ≠

Ilustrasi

1. f(x) = 5x – 6

2. g(x) = 2– 3x +1

3. h(x) =

4. F(x) =

5. G(x) =

6. H(x) = log

Tentukan (bila ada) dan tentukan daerah serta daerah hasil dari

1. (fog)(x)

2. (goh)(x)

3. (hoF)(2x)

4. (FoG)(1/x)

5. (GoH) (-3x)

Tentukan f(x) bila diketahui

1. (gof)(x) = 5x – 7 dan g(x) = 4x +7

2. (gof)(x) = 3x2+ 5x – 1 dan g(x) = 7 – 4x3.

3. (fog)(x) = 6x + 13 dan g(x) = 3- 15x

4. (fog)(x) = x2+ 4x - 12  dan g(x) = 5x – 3

FUNGSI INVERS

Misalkan f : Df Rf dengan y = f(x), sedangkan fungsi invers dari f adalah f-1 : Rf Df, dengan

 x = f-1(y) Df-1=R

Apakah setiap fungsi mempunyai invers fungsi ?

Invers dari fungsi f adalah fungsi bila f adalah fungsi satu – satu dan pada.

Aturan dari fungsi invers f-1

 ditentukan dengan cara menyatakan x dalam y, kemudian x dan y

berganti peran. Grafik fungsi f dan inversnya f-1

simetri terhadap garis y = x.

Ilustrasi

1. Invers dari fungsi f(x) = 3x – 5 ditentukan dengan cara sbb

    f(x) = 3x – 5

    y = 3x – 5

   selanjutkan nyatakan x dalam y, diperoleh

x = f-1(y)  =  f-1(x) =  2.

 g(x) =    g-1(x) = ?

     Jawab

y =  y(3 + 5x ) = 2x + 5

3y + 5xy = 2x + 5

5xy – 2x = 5 – 3y

                 (5y – 2 )x = 5 – 3y

      x =  g-1 (y) =   g-1